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mac_midの日記

国公立大学医学部受験の記録を書いていきます。

単振動 解法パターン 見かけの自然長 解法まとめ

物理

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単振動の見かけの自然長について解説します。

本来のバネの復元力は自然長からの距離で1/2kx^2と表せますが、

これをつりあいの位置(つまり振動中心)を見かけの自然長としてやることで

重力の影響を無視することができます。

 

この公式が活きてくるのは二物体の単振動において

手で力を加えて移動させた時です

この時、最大速度は見かけの自然長による復元力と運動エネルギーの式で一発で求まります。(上式の左のつりあい式)

また、二物体の分離後の新しい振幅を求める際にも役立ちます、

振動中心が見かけの自然長とすることで、端までの距離=振幅となるので、新しい振幅を簡単に求められます。

 

二物体の弾性衝突はどちらの式も似たようなものだと思いますが、

位置エネルギーが出てこない分、見かけの自然長を設定した方が計算が楽だと思います。

 

単振動のメモ

○x=Asinωt,v=Aωcosωt,a=-Aω^2sinωtは最大速度など最大値を求める際に役立つ

導入はxをtで微分する。

○凡ミスは座標の設定で起こりやすい、自然長からの縮み伸びに注意

○二物体が離れるのはいつでも自然長

○単振動はKと振幅を求めれば解決する。→運動方程式より比例定数Kを求める&力のつりあいより振動中心、速度0の地点より折り返し点を求めて振幅を求めると大抵解ける。

○浮力の単振動は適応範囲に注意、沈んだ後や水面上では等加速度運動になる。

○a=-ω^2xからωが求まる。

 

 単振動解法

二物体の単振動

パターン1 運動方程式を求める→連立してNやS(張力)を求める。→張力や垂直抗力が0となる点を求める→見かけの自然長か自然長を利用して速度を求める。

 

 パターン2 衝突の際の速度を求める→運動量保存則より衝突後の速さを求める→折り返し点と力のつりあい点より振幅を求め、速さ、座標、加速度の方程式を求める。→周期を利用してある地点までの時間を求める。

 

パターン3 力のつりあい式を求める→式を変形して比例定数Kを求める→周期を求める→速さ、座標、加速度の方程式を求める。

 

パターン4 バネが複数ある場合→力のつりあいで合成バネの比例定数を求める→バネの対称性を利用する(動かない点があればピンで固定し、バネの長さが短くなったと考える→バネ定数は長さに反比例するのを利用)

 

パターン5 複数バネに衝突するパターン→重心速度は一定なので重心に乗って考える→重心に対する相対速度を求める→それぞれについて式を立てる→周期をそれぞれについて求める(一致する) 

 

パターン6 振り子パターン→近似値より運動方程式→比例定数を求める→あとは上と同じ→慣性力がある場合→見かけの重力加速度を使う

 

パターン7 摩擦がある場合→振動の端と端の中心が振動中心になる→エネルギー保存則と周期を利用して他の設問を解く

 

パターン8 周期がπ/2のn倍でない場合→単位円を使って角度を求める(有名角になる)